דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
הנזק להבנה המתימטית שנגרם בגלל השימוש בבדידים הוא ארוך טווח ופוגע בתהליכי חשיבה תקינים.

אופיו של תהליך הלמידה המציאות מיוצגת במוחנו באמצעות סמלים, מילים, תמונות ואופנויות נוספות אחרות. כאשר אנחנו לומדים מושג כלשהו, למשל: עיפרון, אנחנו עושים זאת על ידי מיפגשים רבים עם עפרונות מסוגים שונים ועם השם 'עיפרון' עד שהמושג עובר תהליך של הכללה ומתחבר אל המונח – כלומר אל המילה המייצגת את התופעה הנקראת ' עיפרון'. כאשר ילד מקבל לידיו עיפרון חום בעל אורך מסויים ואימו אומרת לו: "הנה עיפרון" ולאחר זמן מה היא מושיטה לו עיפרון צהוב קצר ממנו ואומרת: " צייר בעיפרון הזה" וחוזר חלילה, הילד מצמיד לתופעה: עיפרון (המושג) את המילה: 'עיפרון' (המונח). אם לאחר זמן יימצא על השולחן עיפרון אדום קטן מקודמיו והילד יתבקש לתת לאימו עיפרון, הוא יושיט לה את העיפרון האדום הקטן למרות היותו שונה בגודלו ובצבעו משני קודמיו. המהות של העיפרון אינה קשורה לצבעו ולגודלו. המונח 'עיפרון' מתייחס למהות הזאת ולא לתכונה מקרית של עיפרון מסויים. מונח זה מייצג עתה במוחו של הילד כל סוג של עצם המתפקד כעיפרון. אם לבקשתה של האם הוא ייענה על ידי הושטה של עט – פירושו של דבר שלא נעשה הקשר הנאות בין המושג למונח – יש פגם בייצוג הפנימי של המושג. ייצוג פנימי מוטעה של מושג ימוטט בתנאים מסויימים כל חשיבה או עשייה שמתבססת עליו, אך הוא יכול גם להיות מוסווה על ידי השימוש המילולי במילה הנכונה, למרות ההתכוונות אל מושג אחר, במיוחד אם יש קירבה בין הדברים, כמו במקרה של העט והעיפרון. נתבונן בדוגמא נוספת: אצל עיוור צבעים הצבע 'אדום' מיוצג אחרת מייצוגו של צבע זה אצל מי שמבחין בצבעים. הוא אמנם ישתמש במילה 'אדום', אבל יתכוון למשהו אחר מהמקובל. אצלו התופעה 'אדום' נתפסת כגוון של אפור (תלוי בטיב העיוורון). הוא יודע שכולם קוראים לגוון הזה: 'אדום' וכך יעשה אף הוא. השימוש הנכון במונח, למרות הייצוג הלא-נכון שלו בתפיסתו של עיוור הצבעים, מסווה את הייצוג הפנימי ומקשה על ההבחנה בייצוג הפנימי המוטעה. רק בסיטואציות מיוחדות ניתן יהיה להבחין בטעות. למשל, אם נבקש מעיוור צבעים לצאת לשדה ולקטוף רק עגבניות אדומות, ואם עיוורונו מתבטא באי הבחנה בין ירוק לאדום, יש סיכוי שהוא יקטוף עגבניות ירוקות ועיוורון הצבעים ייחשף. די בעובדה שהגוון של העגבניות יהא בעיניו כגוון של ה'ירוק', כפי שהוא רואה אותו, כדי שהטעות תתרחש. בדוגמת העיפרון - הטעות תתגלה רק כאשר הילד יתבקש להביא עיפרון ובמקומו יביא עט. מאחר שהעיפרון והעט שניהם כלי כתיבה יכולות להיווצר הרבה סיטואציות בהן לא נוכל לחוש בכשל שנוצר בתהליך של הייצוג הפנימי אצל הילד. מה שנכון לגבי העיפרון ולגבי הצבע, שהם מוחשיים, בוודאי נכון במושגים מופשטים. בהם קשה עוד יותר לבחון אם הייצוג הפנימי נכון. כמו שעיוור הצבעים יכול לחיות בקרבנו שנים רבות מבלי שנחוש בבעייתו והוא כאילו מתפקד נכון בתחומי הצבע, הרי שבמושגים מופשטים אדם יכול להשתמש במילים מבלי שקישורן למושג הנכון יהיה תקין. אם הוא משתמש במילים במשמעות המקורבת למובנן המדוייק, לא נחוש בטעותו. זו תתגלה רק במקרה שיש צורך בהבחנה דקה יותר של המשמעות. רק בנייה מדויקת של מושגים תמנע מראש טעויות עתידיות1. הוא הדין ביחס למספרים הטבעיים המהווים את הבסיס של החשיבה המתימטית והמדעית. הקנייה מדוקדקת של משמעותם היא תנאי הכרחי לבנייה של חשיבה מתימטית ומדעית המתבססת על מנגנון תקין של בניית ייצוגים פנימיים נכונים. תהליך הלמידה מההיבט המתימטי מהו המספר הטבעי? למספר הטבעי 3 משמעויות. 1. כמות. 2. סדר. 3. יחס. יש לזכור שהמספר מייצג בראש ובראשונה כמות, ושתי התכונות האחרות של המספר הן תוצאה של תכונת הכמות. עובדה זו נכונה הן מהבחינה ההיסטורית, הן מהבחינה המתימטית, הן מהבחינה הפסיכולוגית והן מהבחינה הלוגית ומתוך כל אלה הן מהבחינה הדידקטית2. העובדה שהמספרים הטבעיים מסודרים נובעת מהיותם מונים כמויות. לדוגמא, 9 בא אחרי 8 , כי זה סדר המנייה של כמות העצמים. תכונת היחס אף היא פועל יוצא מתכונת הכמות. למשל, אם נאמר שיש לי 6 עפרונות, הרי משמעות הדבר היא שבידי 6 פעמים היחידה שהיא העיפרון. כאשר מלמדים את המספרים הטבעיים צריך לזכור ש: 1. כמות וצבע אינם אותו דבר. 2. כמות וגודל אינם אותו דבר. הקניית המספר הטבעי באמצעות גודל וצבע , כמוה כיצירת אדם 'עיוור מספרים'. כמו שעיוור הצבעים יוכל לתפקד עד לרמה מסוימת מבלי שנחוש בתקלה, אבל בשלב מסוים היא עלולה להיחשף על ידי כשלון בביצוע, כך גם הילד שיחשוב שגודל כמות וצבע הם אותו הדבר עצמו יוכל לפעול עד שלב מסוים, אבל כישלונו ייחשף רק בשלב מתקדם יותר של המתימטיקה והמדעים. 1. כמות וצבע אינם אותו דבר מיותר לציין שהקשר בין כמות לצבע מופרך מיסודו. הצמדת צבע לכמות על ידי צביעת כל בדיד בצבע המייחד אותו, אין לה הצדקה לא מצד ההיגיון ולא מצד הדידקטיקה, שכן הקניית טעות לוגית אין לה צידוק מכל צד שהוא. כך יוצרים פגיעה בייצוג הפנימי של המספר. אם הכוונה לעזור לחלשים או לתלמידים בעלי היכולת הממוצעת, המקרים שיתוארו להלן יוכיחו את ההיפך. באשר לתלמידים המוכשרים למתימטיקה, אלה מתעלמים מהצבע ומההצמדה לגודל. הם חייבים לעבור תהליך של 'שיחרור מהייצוגים הפנימיים הפגומים' שניכפו עליהם על מנת שיוכלו לממש את הפוטנציאל המתימטי שלהם. אותם תלמידים שלא יעברו את התהליך הזה לא יגיעו לרמות גבוהות יותר של המתימטיקה,אפילו אם יש להם באופן טבעי יכולת להגיע להישגים נאים במקצוע. 2. מדוע כמות וגודל אינם אותו דבר? כדי שנבין את משמעות המספר עלינו להבחין בין כמות בדידה (דיסקרטית) לכמות רציפה. לכמות רציפה, כמו בבדידים או בסרגל, יש שתי תכונות נבדלות זו מזו. ישנה התכונה של הכמות: בידי שלושה סרגלים – כמות הסרגלים היא שלושה. ישנה התכונה של הגודל: הסרגל שבידי גדול מזה שבידך. הצמדת מספר לבדיד יש בה, אם כן, הטעייה. הבדיד הוא אחד בין אם הוא גדול ובין אם הוא קטן. בהיותו גודל רציף, מראש אין הוא בנוי לייצג כמות. ב'מבוא לתורת ההגיון', מבחין הוגו ברגמן3 בין המהות של הדברים, שזו תכונה הטבועה בדבר, לבין חוקיות שהיא מחוץ לדברים, אף על פי שהיא משויכת להם. יש להבחין, אם כך, בין גודל - שהוא ממהותו הטבעית של העצם, לבין כמות, שהיא חוק חיצוני לדבר – המושלך על הדברים בכוח ההיגיון. לכן, כמותם של 3 גורדי שחקים זהה לחלוטין לכמות של 3 בני אדם. וכמותם של 4 אנשים אינה תלויה בגובהם ו/או במשקלם. לכמות אין קשר למהות הדברים אותם היא מונה. משמע, הפיכת הדבר עצמו – הבדיד – לכמות אינה עומדת במבחן ההיגיון. גם סדר הוא חוקיות שמחוץ לדבר. הסדר אינו מתקשר בהכרח לכמות. רק סוג מסויים של סדר מתקשר לכמות – זה שמנייתו ערוכה בטור, והוא פועל יוצא מהאופי הכמותי של הדברים הנימנים: ראשון, שני, שלישי וכו'. לכן, לכמות יש קדימות לוגית גם על פני הסדר4. התהליך המנטלי המתלווה להבנה של גודל וכמות מבחינה פסיכולוגית יש להבחין בין שתי אופרציות מנטליות ( פעילויות חשיבה) שונות, אך תלויות זו בזו: הבנת יחסים והשלכת יחסים. הבנת האספקט הכמותי של המספר היא בבחינת הבנת יחסי כמות, למשל: 7 הוא יותר מ – 4. מדידה של גודל היא בבחינת השלכת יחסי כמות: הסרגל הזה מכיל 20 ס"מ. עלי להבין קודם כל את המושג 20 מהבחינה הדיסקרטית (הבדידה) שלו . רק אחר כך תהיה משמעות כלשהי למספר הס"מ שיש בתוך אותו סרגל. משמע שהבנת גודלו של הסרגל תלוייה בהבנת הכמות. המסקנה המתבקשת מכל האמור היא שיש ללמד אך ורק את המספר ככמות בעת ההקנייה של המושג. רק לאחר שהמושג הופנם כראוי והתלמידים הגיעו להבנה של היחסים האפשריים בכמויות ולאוטומטיזציה בתחום זה, אפשר לעבור להיבטים האחרים של המספר. בסוף התהליך יבוא הטיפול במדידת גדלים, שהוא הקשה מכל, כי תהליך של השלכת יחסים קשה מעצם טבעו. קודם עלינו להבין את הכמות הבדידה ואחר כך להשליך את ידיעתנו זו על גודל רציף וכמו לחלק אותו לכמויות בדידות. דוגמא נוספת: לא נבין את משמעות הכיתוב על בקבוקי משקה המודיע שתכולת הבקבוק היא 500 מ"ל, ללא הבנה של הכמות הבדידה : 500 ושל היחידה מ"ל. הבדידים כמרכיב מרכזי בהצגת המספר מאחר שהמספר מייצג כמות, ומאחר שהכמות אינה תלויה בדבר הנימנה, אלא רק בחוקיות המוטלת עליו מבחוץ, חייבים להשתמש בהדגמות לכמויות באמצעים שונים ומגוונים, כמו פרחים, סוכריות, ילדים, נעליים, כסאות ועוד . אסור בתכלית האיסור להיצמד להמחשה מסוג אחד. אפילו אם נשתמש באמצעי המחשה נוספים, הרי מרכזיותם של הבדידים בהצגת החוקיות המתימטית פוגעת קשה בהבנה המתימטית. עניין זה נוגד לא רק את ההיגיון, אלא גם את כל תורות הלמידה המתקדמות, כמו זו של פיאז'ה או של ויגוצקי5. אם חפצים אנו לבנות אצל הילד תהליכים של שימור חוקיות6 על אף שינויים שחלים בתופעות, הרי המתימטיקה הנילמדת נכון היא מכשיר מרכזי בתהליך. פיתוח וביסוס תהליכים של שימור קביעויות תתרום לחשיבתו של הילד הרבה מעבר למתימטיקה. שימוש מסיבי באמצעי המחשה אחד יפגע בכל תהליכי שימור הקשורים למתימטיקה, כי הייצוג הפנימי שנוצר אצל הילד יהיה צמוד לגודל ולבדידים והוא יתקשה להכליל את המושג. ממש כמו שאי אפשר להקנות את המושג 'עיפרון' על ידי הצגה חוזרת ונשנית רק של עיפרון צהוב בעל אורך מסוים מבלי להפגיש את הילד עם עפרונות שצבעם וגודלם שונים. ילד שלמד את מושג העיפרון רק בעזרת ההצגה של עיפרון מסוג מסויים , לא יזהה משהו כעיפרון כאשר הוא ייתקל בעיפרון אדום השונה בגודלו ו/או בצבעו מזה שהכיר. מספר מקרים לתיאור נזקי הבדידים מקרה א': בכיתה א' בסוף שנת הלימודים ילדה התבקשה לבצע את התרגיל: 3+2 באמצעות בדידים. היא פעלה נכון, לשביעות רצונה של המורה. ביקשתי ממנה להסביר לי את התרגיל באמצעות בלוטים, שהיו בכיתה. זו היתה תשובתה: היא ניסתה לכתוב את הספרות , במקום להבין את המשמעות הכמותית. כשראתה שהבלוטים אינם מספיקים ליצירת הספרות , אמרה: "אי אפשר לעשות את התרגיל עם בלוטים". בסוף כיתה א' היא לא הבינה את מושג המספר כמייצג כמות והחליפה את הסמל במשמעות. והרי זה תהליך קוגניטיבי שדומה להחלפת דגל של מדינה (שהוא הסמל) במשמעות של המדינה עצמה (שהיא המסומל). חשיבותה של המתימטיקה נובע מהקומפטביליות (=התואמות) שבין המספרים לבין התופעות. אי הבנה של המספר כמייצג כמות תחסום בפני התלמידה את הדרך להבנה מתימטית כלשהי בעתיד. הבדידים חרצו את גורלה האקדמי. מקרה ב': הצגתי לילדה שסיימה את כיתה א' שלושה עפרונות בגדלים שונים. שאלתי: " כמה עפרונות יש לי כאן?" - אחד גדול, אחד קטן ואחד בינוני. - תחשבי היטב. - אה! אני מבינה. אחד ועוד חצי ועוד רבע. הילדה לא יכלה לומר פשוט שיש על השולחן 3 עפרונות. היא היתה תלמידה מצטיינת בכיתה א', אף על פי כן (ואולי דווקא בשל כך) לא ידעה להבחין בין כמות לגודל. מקרה ג': סיפרה לי מורה המטפלת בליקויי למידה שתלמידה שלה בכיתה ב' התקשתה בהבנת מושג המספר. כאשר המורה לימדה אותה , הילדה אמרה: " יה, אצלנו בכיתה 5 הוא רק צהוב ואצלך את מרשה ש – 5 יהיה גם 5 חרוזים וגם 5 דיסקיות וגם 5 ביסלי." הילדה התפעלה מההפרדה של המספר מהצבע ומהצגתו של המספר ככמות. בשבילה זה היה חידוש מרענן. מקרה ד': בסוף כיתה ב'. המורה יושבת עם 7 ילדים ומלמדת אותם את משמעות המספר הדו-סיפרתי. היא מציגה את המספר 21 ושואלת מהי סיפרת האחדות ומהי סיפרת העשרות. כל ילדי הקבוצה עונים נכון. אחר כך המורה שואלת כמה אחדות בכל המספר. הילדים מתקשים. המורה רוצה להציג לפניהם את הפיתרון על ידי בדיד העשר ובדידי האחד. עד שהיא טורחת באיסוף הבדידים אני מביאה ערימה של אבני חצץ ושואלת כל ילד בתורו: " יש כאן עשרת?" הילדים טוענים שאין. אני מבקשת שיחשבו שנית. ילדה אומרת שיש עשרת. אני מבקשת שתסביר ליתר חברי הקבוצה. היא לוקחת את בדיד 10 מניחה לפניה לוקחת אבני חצץ ומונה 10 מהן. בזמן שהיא נוטלת את האבנים אני מבחינה שהיא בוחרת רק את אלו שהן בגודל בדיד ה – 1. היא מניחה את האבנים ליד הבדיד 10. לאבנים יש בליטות ורק 8 אבנים מסתדרות ליד הבדיד הכתום(בדיד 10). הילדה אוספת את האבנים ומחזירה לערימה הגדולה שהבאתי ואומרת: "לא, אין כאן עשרת". זו ילדה מחינוך רגיל ברמה בינונית. הבילבול בין גודל וכמות חסם את הדרך לכל ילדי הקבוצה להבנת מושג הכמות. מובן מאליו שהם לא יידעו אי פעם לגשת לבעייה מתימטית, אלא אם כן יעברו טיפול משקם, למרות היותם ילדים רגילים. הילדה הזאת זיהתה זיהוי מוחלט בין גודל וכמות. הבדיד הכתום ייצג לה עשרת. בשבילה המושג 'עשרת' הוא גודל מסויים והמושג 'אחד' הוא גודל של בדיד האחד (הלבן). הילדה, כמו יתר חבריה, עשתה התאמה חד-חד-ערכית בין הבדידים לבין הכמויות שהם אמורים לייצג, בהסתמכה על מה שנילמד בכיתה7. מדוע הכישלון אינו מתגלה תמיד בתחילת התהליך? במיבדק הארצי, שנערך בשנת תשנ"ט, ציוני תלמידי כיתות ד' היו משביעי רצון באופן יחסי. הכישלון הגדול היה בטכניקה אלגברית בכיתות ח'. זו דרכו של ייצוג פנימי מוטעה. הוא מתגלה לא בשלב בו אנו שואלים שאלה ישירה על החומר. הרי התלמידים שתוארו במקרה ד' יכלו לענות נכון בעזרת בדידי ה – 1 הלבנים. בדומה לעיוור הצבעים, אם נצביע לו על מישטח אדום ונשאלנו איזה צבע הוא רואה, הוא יענה נכון: זה אדום, כי למד שאנו קוראים לגוון הזה 'אדום'. אבל אם נשלח אותו לשדה עגבניות, שבו עליו להבחין בין העלים הירוקים, העגבניות הירוקות והעגבניות האדומות – שם יתגלו ייצוגיו הפנימיים המוטעים8. זה מה שקרה לתלמידי כיתות ח'. הם נכנסו לשדה המתימטיקה ועולמם המתימטי התמוטט. פגיעה בייצוג פנימי, שכבר נוצר והתגבש, גוררת התנגדות ומבוכה. כאשר המשמעויות המתימטיות אינן תואמות את הייצוגים הפנימיים של המספר, שהן - לפי הבדידים - גדלים רציפים. אם נלמד ילד שעיפרון הוא רק בעל גודל וצבע מסויימים, זו תהיה פגיעה קשה בייצוג הפנימי שלו. הצגה של עיפרון בגודל אחר ו/או בצבע אחר תביא לכך שברוב המקרים הוא יגלה התנגדות עזה לערעור הייצוג הפנימי שכבר קיים אצלו. הוא יחוש שמשהו אינו כשורה. יווצר אצלו תהליך שנקרא COGNITIVE DISSONANCE - הסתירה בין המיוצג אצלו לבין החידוש, המערער ייצוג זה, יגרום להתנגדות או לשיתוק מוחלט של הפעילות הקשורה לדבר. זה מה שקורה לילדים שלמדו שגודל (רציף) מסויים מייצג כמות (שאינה רציפה), הם כאילו קפאו על עומדם, האמת הפנימית שלהם לא התיישבה עם דרישות המתימטיקה.ברור, שכדי לפתור בעיות במתימטיקה אנו נזקקים לפן הכמותי של המספר, לכן התלמידים שהבדידים שימשו בסיס ללימודי החשבון שלהם נכשלים דווקא בפתירת בעיות9. כדי למנוע את המשך ההידרדרות במצב המתימטיקה, כפי שבאה לידי ביטוי במיבדקים הבינלאומיים10, אין לנו ברירה אלא להגיע למסקנה המתבקשת מכל האמור: אם חפצים אנו בקידום הילדים – אל ניתן להם בדידים בשלב ההקנייה של מושג המספר או בשלב ההסבר של פעולות החשבון! לאחרונה נכנסה תכנית להוראת הבדידים בגני הילדים. כל עוד הילדים משתמשים בהם למילוי שטחים, אינני רואה, ברגע זה, היזק כלשהו, אבל חלק מהתכנית בנוי על הצמדת מספר לבדיד. בגלל גילם הרך של הילדים – הפגיעה ביכולתם המתימטית תהיה מוחלטת ועמוקה יותר. יש להניח שהשימוש בבדידים יחרוץ את דינם לכישלון מתימטי. לחלקם תהיה זו מכה אנושה וגורלם האקדמי ייחרץ בגן הילדים. ביבליוגרפיה והערות: (1) שימור של חוקיות הכרחי לביצוע כל פעולה ברמה המופשטת. לדוגמא, החוק של הנפילה החופשית פועל על כל העצמים. הוא נשמר בלי כל קשר לצבעם, ליופיים או לכל תכונה אחרת שלהם. כדי להבין זאת חייב האדם להיות מסוגל להבין את החוק ולשמרו במחשבתו (חוק הנפילה החופשית), למרות השינויים שחלים בתופעה (התכונות השונות של עצמים נופלים שונים, למשל: טעמם, צבעם וריחם). (2) הדוגמא הזאת מבוססת על מקרה אמיתי שאירע לאדם מבוגר. כל הדוגמאות האחרות שבמאמר נלקחו מעבודה עם ילדים. בתקופה שבדקתי את הנושא של הבחנה בין גודל לכמות עסקתי בהנחייה בדקתי כ – 3000 תלמידים. אצל מרביתם מצאתי אותם כשלי חשיבה. היה קשה מאוד לתקן את המושגים המוטעים, כי טעותם הופנמה והייצוגים הפנימיים המוטעים התגבשו והפכו לחלק מהבנתם את המציאות. (3)בר-אל ציפי. (1985). יסודות הפסיכולוגיה הקוגניטיבית. תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה.חוברת 8 עמ' 35 – 46. (4) ברגמן הוגו, (1964). מבוא לתורת ההגיון. ירושלים. מוסד ביאליק. חלק א', פרק ראשון. (5) גביש תלמה,(עורכת),(1994). לחשוב נכון מהגן עד התיכון, קרית ביאליק: הוצאת 'אח' . עמ' 83 – 100. (6) גביש תלמה, (1996). ללמוד לחשוב, קרית ביאליק: הוצאת 'אח'. (7) גביש תלמה, (1998). לחשוב, להבין, להצליח, קרית ביאליק: הוצאת 'אח'. (8) דוזורצב י., ויניצקי ג., קופר א. , תכנים הסטוריים לשילוב בהוראת המתימטיקה. חיפה. הטכניון – המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים. עמ' 16 – 17 . (9) ויטגנשטיין לודוויג, (תשנ"ה). חקירות פילוסופיות. ירושלים. הוצאת ספרים מגנס, האוניברסיטה העברית. (10) מובשוביץ-הדר נצה, TIMSS המחקר הבינלאומי השלישי להערכת הישגים במתמטיקה ובמדעים. על"ה 21 דצמבר 1997 עמ' 13 – 35. על"ה 22 מאי 1998 עמ' 29 – 46. (11) נשר פרלה וצוות מתמטיקה במט"ח , (1993) . אחת, שתים ו…שלוש חוברת 4 ישראל. מרכז לטכנולוגיה חינוכית ומשרד החינוך האגף לתכניות לימודים. עמ' 80, 81,84. (12) סרוף אלן, קופר רוברט, דהארט גאני,(1998). התפתחות הילד טבעה ומהלכה. תל-אביב:האוניברסיטה הפתוחה. עמ' 391 – 406. (13) פיאז'ה ז'אן, (1974). הפסיכולוגיה של הילד, תל-אביב:ספרית הפועלים.עמ' 110 – 111. (14) פליבל ג'והן ה., ( 1971). הפסיכולוגיה ההתפתחותית של ז'אן פיאז'ה. ישראל. אוצר המורה. עמ' 300 – 305. (15) קלר יחיאל, ( 1990). מבוא לפסיכולוגיה. יחידה 6 : חשיבה, תל-אביב. האוניברסיטה הפתוחה עמ' 54 – 65. (16) שטיינברג רותי, התפתחות דרכי חשיבה מתמטית של ילדים בגילאים 5 – 8 , החינוך וסביבו, 1989. (17) שרון דליה, עורב מיכל, דר' רינה הרשקוביץ, אוסטשינסקי נירה, (1997). כלי חשיבה בסיסיים לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה – מדריך למורה. ירושלים. מכון ברנקו וייס לטפוח החשיבה. עמ' 7 – 74. (18) Atkinson Rita l., Atkinson Richard C., Smith Edward E., Hilgard Ernest R..(1985).Introduction to Psychology. San Diego. Harcourt Brace Jovanovich, Publishers.pp.71 – 75. (19) Fisher Robert (1995). Teaching Children to Think .U.K. Stanley Thornes. p.184 – 219. (20) Garden R. A.,( February 1987). The Second IEA Mathematics Study. Comparative Education Review. pp. 47 – 68. במאמר יש התייחסות ישירה להרעה הבולטת בהישגי ישראל במתימטיקה, שחלה בין השנים 1964 ל – 1984. (עמ' 64 ). (21) Heath Thomas Little . (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Book 7.vol.2. New York, Dover. ( 22) Lorton – Baratta Mary (1976). Mathematics Their Way. California. Addison – Wesley Publishing Company. (23) Richardson M. ( 1958). Fundamentals of Mathematics. New york. The Macmilan Company.Chapter 3: The Simplest Numbers. pp. 41 – 59. (24) Smith D. M. (1951) History of Mathematics. New York. Dover Publication. (25) Wood M. Martha, Capell Peggy (1995). Developmental Mathematics. New york. Brooks / Cole Publishing Company. pp. 1 –63. · תלמה גביש מורה בעלת ותק של 49 שנות הוראה. לימדה בכל סוגי החינוך: בחינוך יסודי רגיל, בחינוך מיוחד על ענפיו השונים, בחינוך העל-יסודי, בהנחיית מורים, במיכללה למורים ובחינוך מבוגרים. 1 (3),(6), (7), (9), (14), (15). 2 מהבחינה המתמטית: (17), (19), (21), (23), (25); מהבחינה ההיסטורית: (8), (24); מהבחינה הפסיכולוגית: (12), (13), (14), (15), (16), (18); מהבחינה הדידקטית: (5), (7), (16), (17), (22), (25). מהבחינה הלוגית: (4). 3 (4), (7). 4 (13), (14). 5 (3), (13), (14), (15). 6 (1), (12). 7 (11). 8 (2). 9 (17). 10 (10), (20).

 
....
 
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים